persamaan kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a  0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0  ax² + bx + c = 0  a (x + p/a) (x + p/a) = 0
 x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q²  x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0  X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± D)/2a

1. D > 0

x1 = (-b+D)/2a ; x2 = (-b-D)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda

2. D = 0

x1 = x2 = -b/2a

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

tt
3. D < 0 Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata. syarat akar nyata/ada/riil : D 0 Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat Matematika Kelas 1 > Persamaan Kuadrat

< Sebelum Sesudah >

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+D)/2a dan X2 = (-b-D)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a X1.X2 = c/a X1 - X2 = D/a



Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata
Matematika Kelas 1 > Persamaan Kuadrat

< Sebelum Sesudah >

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0  b = 0

Ket: X1 + X2 = 0  -b/a = 0  b = 0

2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D  0
X1 . X2 = 1  a = c

Ket: X1 . X2 = 1  c/a = 1  a = c

3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D  0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0

4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0 syarat: D  0 X1 + X2 < 0 X1 . X2 > 0

5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0 syarat : D > 0
X1 . X2 < 0 Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti 6. Kedua akar rasional Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk  syarat : D = bentuk kuadrat D = (0,1,4,9,16,25...) Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda  , sehingga X1 dan X2 rasional Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat Matematika Kelas 1 > Persamaan Kuadrat
365
< Sebelum Sesudah >

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2² = (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)

2. X1³ + X2³ = (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24 = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²

4. X1²X2 + X1X2² = X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2 = (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c

6. X1/X2 + X2/X1 = (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)² = (X1+X2)² - 4X1X2 atau [D/a]² = D/a²

8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(D/a)

Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²